Congruências do tipo Ramanujan via formas modulares
Data
2024-11-08
Autores
Sakai, Pedro Diniz 
Orientadores
Silva, Robson Oliveira da
Tipo
Dissertação de mestrado
Título da Revista
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Resumo
Uma partição de um inteiro positivo n é uma coleção de inteiros positivos cuja soma é igual a n. No século XX, o matemático Srinivasa Ramanujan descobriu propriedades aritméticas para funções que contam o número de partições, mais especificamente, ele provou congruências para estas funções. As demonstrações destas congruências, que ficaram conhecidas como congruências do tipo Ramanujan, podem ser realizadas com manipulações algébricas e combinatórias em séries, conforme executado em [2] por exemplo. A proposta desta dissertação é apresentar as demonstrações de congruências do tipo Ramanujan, por meio de formas modulares. Para isso, realizamos um estudo aprofundado de formas modulares: desde a definição de grupo modular, sua caracterização e as propriedades algébricas de seus subgrupos, até a construção de formas e funções modulares, bem como suas aplicações.
A partition of a positive integer n is a collection of positive integers such that the sum is equal to n. In the 20th century, the mathematician Srinivasa Ramanujan discovered arithmetic properties for functions that count the number of partitions, more specifically, he proved congruences for these functions. The proofs of these congruences, which became known as Ramanujan type congruences, can be performed with algebraic and combinatorial manipulations in series, as performed in [2], for example. The purpose of this dissertation is to present the proofs of the Ramanujan type congruences through modular forms. For such, we carry out an in-depth study of modular forms: from the definition of a modular group, its characterization and the algebraic properties of its subgroups, to the construction of modular forms and functions, as well as their applications
A partition of a positive integer n is a collection of positive integers such that the sum is equal to n. In the 20th century, the mathematician Srinivasa Ramanujan discovered arithmetic properties for functions that count the number of partitions, more specifically, he proved congruences for these functions. The proofs of these congruences, which became known as Ramanujan type congruences, can be performed with algebraic and combinatorial manipulations in series, as performed in [2], for example. The purpose of this dissertation is to present the proofs of the Ramanujan type congruences through modular forms. For such, we carry out an in-depth study of modular forms: from the definition of a modular group, its characterization and the algebraic properties of its subgroups, to the construction of modular forms and functions, as well as their applications